三角形的內心，外心，重心的概念和性質 三角形的垂心定理是什么

三角形的內心，外心，重心的概念和性質 三角形的垂心定理是什么

1.垂心：

〈1〉定義：是三角形三條高的交點。

〈2〉性質：

[性質1] 銳角三角形的垂心在三角形內;直角三角形的垂心在直角頂點上;鈍角三角形的垂心在三角形外。

[性質2]三角形的垂心是它垂足三角形的內心;或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心。

[性質3]垂心O關于三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓圓上。

[性質4]△ABC中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，。

[性質5]O、A、B、C四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂心(并稱這樣的四點為--垂心組)。

[性質6]△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圓是等圓。

[性質7]三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。

[性質8]設O、 H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC, ∠BCO=∠HCA.

[性質9]銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內切圓與外接圓半徑之和的2倍，即 AH+BH+CH = 2（r+R）。

[性質10]銳角三角形的垂心是垂足三角形的內心;銳角三角形的內接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。

[性質11]設H為非直角三角形的垂心，且D、E、F分別為H在BC，CA, AB.上的射影，H1,H2，H3分別為△AEF,△BDF，△CDE的垂心，則△DEF≌△H1 H2H3.

[性質12]三角形垂心H的垂足三角形的三邊，分別平行于原三角形外接圓在各頂點的切線。

2.內心

〈1〉定義：是三角形三條內角平分線的交點 即內接圓的圓心。

即AE、BF、CD分別平分角BAC、角ABC、角BCA，且AE、BF與CD相交于點O，點O即為△ABC的內心。

〈2〉性質：

[性質1] 三角形的內心到三邊的距離相等,都等于內切圓半徑r.

[性質2] ∠ BOC=90°+∠BAC/2。

[性質3] 在Rt△ABC中,∠A=90°,三角形內切圓切BC于D，則S△ABC=BDxCD

3.重心：

〈1〉重心的定義：重心是三角形三條中線的交點。

〈2〉重心的性質：

[性質1] 三角形的重心到邊的中心與到這條邊所對的頂點的距離之比為1:2，即OD：OA = 1：2 ；

OE：OC = 1：2 ；

OF：OB = 1：2 。

[性質2] 重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等，即S△AOB=S△BOC=S△AOC。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。

[性質3] 重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

[性質4] 在平面直角坐標系中,重心的坐標是頂點坐標的算術平均數。即在△ABC中，若點A（X1、Y1）、B（X2、Y2）、C（X3、Y3），則其重心點O的坐標為{（X1+Ⅹ2+X3）/3、（Y1+Y2+Y3）/3}。

4.外心：

〈1〉外心的定義：外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點， 即外接圓的圓心。

〈2〉外心的性質：

[性質1] 若O是△ABC的外心,則∠BOC=2∠A（∠A為銳角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A為鈍角）。

[性質2] 當三角形為銳角三角形時,外心在三角形內部；當三角形為鈍角三角形時,外心在三角形外部；當三角形為直角三角形時,外心在斜邊上,與斜邊的中點重合。

[性質3] 外心到三頂點的距離相等，即OA=OB=OC。

5.旁心：

〈1〉旁心的定義：

是三角形兩條外角平分線和一條內角平分線的交點。

〈2〉旁心的性質：

[性質1] 旁心到三角形三邊的距離相等，即OE=OF=OG。

[性質2]任何三角形都有3個旁心，且不相鄰的內角平分線過旁心。

[性質3] 任意一個三角形都有三個旁切圓，三個旁心。旁心一定在三角形外。即⊙O1、⊙O2、⊙O3是△ABC的三個旁切圓， 〇1、〇2、〇3是△ABC的3個旁心，它們都在△ABC的外部。

[性質3] 直角三角形斜邊上的旁切圓的半徑等于三角形周長的一半{假設△ABC是Rt△，且∠A=90度，⊙O1是斜邊BC上的旁切圓，則此旁切圓的半徑R1=1/2（AB+BC+AC）}。